Mathématiques pour la finance #1

Je démarre ici une série de petits articles d’éducation financière. Je voudrais montrer comment les mathématiques peuvent nous aider à résoudre quelques situations courantes, notamment dans le domaine financier. L’idée ici n’est pas d’approfondir le côté mathématique pur mais plutôt d’avoir une formule à utiliser pour chaque situation et surtout de prendre conscience de certains fonctionnements et résultats qui peuvent être contre-intuitifs.

Pierre et Suzie veulent tous les deux réaliser un investissement de 1000€. Ils choisissent d’investir dans la crypto-monnaie. Ils font le même investissement mais Suzie peut acheter la crypto-monnaie à 30% en dessous du prix du marché grâce à un partenariat. Quelle quantité de crypto-monnaie, Suzie, aura-t-elle en plus de Pierre ?

Ici, on pourrait être tenté de répondre rapidement que Suzie aura 30% de crypto-monnaie en plus, étant donné qu’elle a pu acheter à 30% en dessous du prix du marché. Nous allons voir que c’est mathématiquement faux.

Si on considère les variables suivantes :

M est le Montant total investi
P est le Prix du marché
Q est la Quantité de crypto-monnaie reçue

L’investissement de Pierre peut se noter ainsi :

\[ M_{Pierre} = P * Q_{Pierre} \]

L’investissement de Suzie peut se noter ainsi :

\begin{align} M_{Suzie}& = (P – 30\%) * Q_{Suzie}\\ M_{Suzie}& = (\frac{100}{100}P – \frac{30}{100}P) * Q_{Suzie}\\ M_{Suzie}& = \frac{70}{100}P * Q_{Suzie}\\ \end{align}

Comme le montant total investi par Pierre est égal au montant total investi par Suzie, on a :

\begin{align} P * Q_{Pierre} &= \frac{70}{100}P * Q_{Suzie}\\ Q_{Pierre} &= \frac{70}{100} * Q_{Suzie}\\ Q_{Suzie} &= \frac{100}{70} * Q_{Pierre}\\ Q_{Suzie} &\approx 1,429 * Q_{Pierre} \end{align}

On voit donc que si Suzie peut acheter 30% moins cher que Pierre, à budget égal, elle recevra environ 42,9% de crypto-monnaie en plus de Pierre.

On peut en déduire cette règle générale : si vous avez une réduction de x%, vous pouvez :

soit économiser x % du montant
soit recevoir 100/(100-x) % fois plus de produit.

Ce qui nous donne le tableau suivant :

% de réduction	Quantité équivalente en plus
10%	11%
20%	25%
30%	43%
40%	66%
50%	100%

Quantité supplémentaire reçue pour un même montant dépensé en fonction du pourcentage de réduction à l’achat.

Et oui, si on a 50% de réduction, on peut acheter 2 fois plus de produit. La quantité de produit supplémentaire dont on peut bénéficier augmente beaucoup plus vite que le pourcentage de réduction. C’est une des raisons pour lesquelles Robert Kiyosaki explique que pour un investissement, on fait les bénéfices à l’achat.